Sonsuzluğu Sayılara Dökmek
Kutay Erdem
Sonsuzluğu sayılara dökmek
Sonsuzluk kavramı tarih boyunca insanların kafasını
karıştırmıştır. Sonuçta evrenimizde şu ana kadar
hiçbir sonsuz sayıda cisim veya durum gözlemlemedik,
bu yüzden somut olarak bilmiyoruz, sadece kafamızda
canlandırabiliyoruz. Peki, hiç düşündünüz mü,
sonsuzluğu kendi algılarımız ile betimleyebilir
miyiz?
Belki de “sonsuz” dediğimiz şey, tam da dibimizde
olan bir şeydir.
Sonsuzu sayılara dökmeden önce belirtmek isterim ki bu yazıda yer alan konsept, tartışmalı bir konudur. Kendi kendine matematiği öğrenmiş, çoğu tezini kanıtsız sunup ileriki zamanlarda diğer matematikçiler tarafından kanıtlamış, tarihin en zeki matematikçilerinden biri olan Ramanujan tarafından geliştirilmiştir. Bu güne kadar çoğu kişi konuyu daha çok eğlencesine öğrenmiştir, bazıları bu tezin ispatını yapanlara şarlatan demiştir, biz de bu yazıda ilginçliğinden bahsedeceğiz. Bunu kanıtlamak için bir kaç farklı yol olmasına rağmen (ör: Riemman Zeta Fonksiyonu) diğer yollar orta-ileri derecede kalkülüs bilgisi gerektirdiğinden dolayı sadece sayı kümeleri ile oynama yaparak bunu ispatlayacağız. Öncelikle bir serinin toplamını nasıl bulacağımızı görelim;
\(\sum_{i=0}^{n}{i=\frac{n(n+1)}{2}}\)
Bu formülden gördüğümüz üzere, n sayısı arttıkça serinin toplamı artıyor. Yani 5’e kadar olan sayıların toplamının, 10’a kadar olan sayıların toplamından küçük olması gerekir. Bu zaten bildiğimiz bir şey. Şimdi birkaç seri tanımlayalım;
\(S_1=1-2+3-4+5-6+\ldots\)
\(S_2=1-1+1-1+1-1+1-\ldots\)
\(S_3=1+2+3+4+5+6+\ldots\)
\(S_2\) serisini nerede bitirdiğimize bağlı olarak cevabı değişir. Eğer tek sayı bir değerde bırakırsak 1, çift sayı bir değerde bırakırsak cevabımız 0 olur. Çift sayı olursa, \(+1\), \(-1\)i götürür. Bu sebeple, bu serinin toplamını, \(\frac{1}{2}\) olarak alırız. Şimdi serilerimiz ile birazcık dört işlem yapalım. Serileri birbirleri ile toplarken, toplama işleminin genel kuralına göre, serinin içindeki herhangi bir sayı ile diğer serideki herhangi bir sayıyı toplayabiliriz. Yani \(S_1+S_1\) şöyle de yapılabilir;
\(S_1=1-2+3-4+5-6+\ldots\)
\(S_1=\ \ \ \ +1-2+3-4+5+\ldots\)
_____________________________\(+\)
Yani bu seri toplamının sonucu, şuna dönüşür;
\(2S_1=1-1+1-1+1-1+\ldots\)
Bu, az önce gördüğümüz bir seri olan \(S_2\)’ye eşittir. \(S_2\)’nin toplamının da \(\frac{1}{2}\)’ye eşit olduğunu zaten bulmuştuk. Yani;
\(2S_1=\ \frac{1}{2}\)
\(S_1=\ \frac{1}{4}\)
Şimdi, ilk başta tanımladığımı S3 serisini tekrardan hatırlayalım. 1’den başlayıp sonsuza kadar giden tüm doğal sayıların toplamıydı. Şimdi, S3 serisinden S1 serisini çıkaracağız.
\(S_3=1+2+3+4+5+6+7+\ldots\)
\(S_1=-(1-2+3-4+5-6+7+\ldots)\)
______________________________________\(+\)
\(S_3-\ S_1=\ 0+4+0+8+0+12\ldots\)
\(= 4\left(1+2+3+4+5+6\ldots\right)\)
\(=4\times S_3\)
Buradan, \(S_3-S_1 = 4S_3\) olduğunu bulduk. \(S_1\)’in değerini zaten \(\frac{1}{4}\) olarak bulmuştuk. Buradan;
\(S_3-\frac{1}{4}=4S_3\)
\(-\frac{1}{4}=3S_3\)
\(S_3=\ -\frac{1}{12}\)
Cevabını buluruz. Yani;
\(1+2+3+4+5+\ldots=\ -\frac{1}{12}\)
\(\infty\ =-\frac{1}{12}\)
Sonsuzluğu \(-\frac{1}{12}\) olduğunu görürüz. Bu, yazının başında gösterdiğimiz formülün ve algımızın tamamen dışındadır. N sayısı arttıkça değer artar bilgisi, burada işe yaramamıştır. Belki de “sonsuz” kavramını henüz algılayamadığımızdan kendi kurallarımızla bakmamamız gerekiyordur.
Sonsuzu sayılara dökmeden önce belirtmek isterim ki bu yazıda yer alan konsept, tartışmalı bir konudur. Kendi kendine matematiği öğrenmiş, çoğu tezini kanıtsız sunup ileriki zamanlarda diğer matematikçiler tarafından kanıtlamış, tarihin en zeki matematikçilerinden biri olan Ramanujan tarafından geliştirilmiştir. Bu güne kadar çoğu kişi konuyu daha çok eğlencesine öğrenmiştir, bazıları bu tezin ispatını yapanlara şarlatan demiştir, biz de bu yazıda ilginçliğinden bahsedeceğiz. Bunu kanıtlamak için bir kaç farklı yol olmasına rağmen (ör: Riemman Zeta Fonksiyonu) diğer yollar orta-ileri derecede kalkülüs bilgisi gerektirdiğinden dolayı sadece sayı kümeleri ile oynama yaparak bunu ispatlayacağız. Öncelikle bir serinin toplamını nasıl bulacağımızı görelim;
\(\sum_{i=0}^{n}{i=\frac{n(n+1)}{2}}\)
Bu formülden gördüğümüz üzere, n sayısı arttıkça serinin toplamı artıyor. Yani 5’e kadar olan sayıların toplamının, 10’a kadar olan sayıların toplamından küçük olması gerekir. Bu zaten bildiğimiz bir şey. Şimdi birkaç seri tanımlayalım;
\(S_1=1-2+3-4+5-6+\ldots\)
\(S_2=1-1+1-1+1-1+1-\ldots\)
\(S_3=1+2+3+4+5+6+\ldots\)
\(S_2\) serisini nerede bitirdiğimize bağlı olarak cevabı değişir. Eğer tek sayı bir değerde bırakırsak 1, çift sayı bir değerde bırakırsak cevabımız 0 olur. Çift sayı olursa, \(+1\), \(-1\)i götürür. Bu sebeple, bu serinin toplamını, \(\frac{1}{2}\) olarak alırız. Şimdi serilerimiz ile birazcık dört işlem yapalım. Serileri birbirleri ile toplarken, toplama işleminin genel kuralına göre, serinin içindeki herhangi bir sayı ile diğer serideki herhangi bir sayıyı toplayabiliriz. Yani \(S_1+S_1\) şöyle de yapılabilir;
\(S_1=1-2+3-4+5-6+\ldots\)
\(S_1=\ \ \ \ +1-2+3-4+5+\ldots\)
_____________________________\(+\)
Yani bu seri toplamının sonucu, şuna dönüşür;
\(2S_1=1-1+1-1+1-1+\ldots\)
Bu, az önce gördüğümüz bir seri olan \(S_2\)’ye eşittir. \(S_2\)’nin toplamının da \(\frac{1}{2}\)’ye eşit olduğunu zaten bulmuştuk. Yani;
\(2S_1=\ \frac{1}{2}\)
\(S_1=\ \frac{1}{4}\)
Şimdi, ilk başta tanımladığımı S3 serisini tekrardan hatırlayalım. 1’den başlayıp sonsuza kadar giden tüm doğal sayıların toplamıydı. Şimdi, S3 serisinden S1 serisini çıkaracağız.
\(S_3=1+2+3+4+5+6+7+\ldots\)
\(S_1=-(1-2+3-4+5-6+7+\ldots)\)
______________________________________\(+\)
\(S_3-\ S_1=\ 0+4+0+8+0+12\ldots\)
\(= 4\left(1+2+3+4+5+6\ldots\right)\)
\(=4\times S_3\)
Buradan, \(S_3-S_1 = 4S_3\) olduğunu bulduk. \(S_1\)’in değerini zaten \(\frac{1}{4}\) olarak bulmuştuk. Buradan;
\(S_3-\frac{1}{4}=4S_3\)
\(-\frac{1}{4}=3S_3\)
\(S_3=\ -\frac{1}{12}\)
Cevabını buluruz. Yani;
\(1+2+3+4+5+\ldots=\ -\frac{1}{12}\)
\(\infty\ =-\frac{1}{12}\)
Sonsuzluğu \(-\frac{1}{12}\) olduğunu görürüz. Bu, yazının başında gösterdiğimiz formülün ve algımızın tamamen dışındadır. N sayısı arttıkça değer artar bilgisi, burada işe yaramamıştır. Belki de “sonsuz” kavramını henüz algılayamadığımızdan kendi kurallarımızla bakmamamız gerekiyordur.